Константы, последовательности чисел и фракталы: связь математики и музыки
Рубрикатор:
• Концепция • Математические константы • Число Пи • Числа Фибоначчи • Золотое сечение • Музыкальный фрактал • Заключение/гипотеза симуляции • Библиография • Источники изображений
Концепция:
Ученые считают, что музыка появилась около пятидесяти тысяч лет назад, однако в рамках темы исследования мы рассмотрим предположение, что не то, что музыка, а уже первый её «композитор» появился даже еще раньше: задолго до появления самой музыки, как таковой и человека, как вида; нашей планеты, галактики и звезд. Этот гениальный автор родился в одно время со всей вселенной. Первые датируемые свидетельства понимания его человеком и превращения в привычную нам форму относятся к ~3000-му году до нашей эры. Сегодня он позволяет людям совершать новые и новые научные открытия, является неотъемлемой частью всего и вся. И имя этому великому композитору математика.
Ни для кого не секрет, что музыка и математика это связанные явления. Действительно, музыка невозможна без математики, ибо ноты есть ни что иное, как рассчитанные по соотношениям звуковые частоты; ритмы, грувы, темпы, длительности — все это аналогично измеряется математическими категориями. Однако я же предлагаю рассмотреть взаимосвязь этих двух понятий под другим углом и возможно на гораздо более фундаментальном уровне.
Пифагор полагал, что в музыке заложена математическая гармония в виде числа и числовых пропорций, а сама же музыка есть проявление космической гармонии сфер, положительно воздействующей на внутренний мир человека.
Я не зря сказал, что математика — первый композитор. Если она же является первым художником: завораживающие визуальные красоты геометрий и форм различных объектов во вселенной, цветосочетания и прочее, — все это работает по физическим и математическим законам; следовательно можно предположить, что эти законы применимы и в музыке. А если автор сочиняет, ему нужна запись, и у математики она особенная.
Математические константы:
Математическая константа или математическая постоянная — величина, значение которой не меняется. Данные величины являются неотъемлемой частью математических и физических вычислений и расчетов, а также повсеместно используются в работе в иных смежных научных дисциплинах.
Визуализация математической константы е по Бремеру на С++
Самым знаменитым членом данного семейства является число Пи (математическая постоянная, равная отношению длины окружности к её диаметру), знакомое нам еще со школьных времен. Но естественно оно не единственное. В рамках данного исследования мы также поговорим о еще некоторых представителях данного ряда чисел, а именно, о числах Фиббоначи, представляющих собой последовательность, в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел; и о Золотом сечении, оно же число Ф — отношение частей целого, при котором отношения частей между собой и наибольшей части к целому равны. Закономерен вопрос: как все это применимо в музыке? Что ж, если математика — это композитор, то ее константы есть ни что иное, как партитуры к музыкальным произведениям.
Число Пи:
Визуализация числа Пи за авторством Martyn Krzywinski и Cristian Vasille
Ещё одна визуализация числа Пи за авторством Martyn Krzywinski и Cristian Vasille
На идею данного исследования меня натолкнул совершенно случайно встреченный ролик на ютубе под названием «Song from π! (Studio Version)».
Как оказалось, если обозначить в порядке от первой до восьмой ступени в гармоническом миноре, а так же взять ноль и девять с краев, как логическое продолжение нотного ряда, то, используя число Пи, как партитуру, и разнообразив ее простой гармонией в басовой части, получится музыкальное произведение, абсолютно завораживающее слух. Первым перевод числа в музыку с точностью до 122-го знака после запятой осуществил американский музыкант Дэвид Мак Дональд.
Роликом на YouTube данная тема не ограничилась. Музыку числа Пи также исполнил Эстрадно-симфонический оркестр Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого.
Числа Фиббоначи:
Схематическое понимание последовательности чисел Фиббоначи
Визуализация последовательности чисел Фиббоначи в виде арт-объекта за авторством Helvetiphant
Как оказалось, число Пи не единственная константа, которая «дружит» с музыкой. Еще более, на мой взгляд, завораживающая композиция получится, если аналогичным образом, только на сей раз для Ми мажорной гаммы, использовать в качестве партитуры последовательность чисел Фиббоначи.
Золотое сечение:
Схематическое понимание пропорций золотого сечения. Оно схоже с визуализацией последовательности чисел Фиббоначи.
Золотое сечение в объектах из лекальной жизни
Мелодия Золотого сечения примечательна другим: она имеет идеальное соотношение длительностей нот, образующее многочисленные золотые сечения. Длительность каждой ноты мелодии в паре с длительностью соседней ноты, прошедшей или будущей, образуют пропорцию золотого сечения.
Золотое сечение это соотношение двух величин, равное 1,61803. Обозначается буквой Ф. Это называется гармонической пропорцией. Длительности нот: a = 1/Ф (0,618) b = a/Ф (0,382) c = b/Ф (0,236)
Таких нот в мелодии 8, 12 и 4. В сумме длительность мелодии 10,472 секунды.
Если сумму разделить на 4, то получится 2,618. Это золотое сечение во второй степени. Любые 6 нот мелодии, звучащие друг за другом, в сумме равны Ф в квадрате.
Если длительность мелодии разделить на 3,3333, то получим число Пи. Можно записать соотношение золотого сечения и числа Пи: 4Ф²=3,3333П.
Мелодия цикличная, разрешается в первую ноту. Первая и последняя ноты соединяются в пропорции золотого сечения. Длительность мелодии плюс первая нота в сумме равны 11,090. Это золотое сечение в пятой степени.
Мне сложно понять удивительно малое количество исследований и практик, связанных с темами математических констант и их применений в музыке. Как невозможно простому человеку, да и всему человечеству в целом, посчитать бесконечное количество символов той или иной последовательности, так и невообразимо себе представить бесконечность мелодических ходов, которые объективно, как и сами числа, существуют в пределах вселенной, но мы о них никогда не узнаем.
Можно вообразить себе программу, которая будет бесконечное количество времени исполнять число пи или числа Фибоначчи: поколения будут сменяться, а мелодия будет все продолжаться. И каждый человек, который придет ее послушать, услышит уникальную последовательность нот, которую никто и никогда доселе не слышал. Возможно, эта программа переживет все человечество и будет играть тысячи, миллионы и миллиарды лет, привнося новые музыкальные краски во вселенную. Звучит, как идея для арт-объекта, не так ли?
Главное, написать программу, которая в реальном времени будет считать знаки после запятой в числе Пи, или складывать слагаемые в последовательности чисел Фиббоначи. А так, как показывает сотрудничество KUKA robotics и Nigel John Stanford, робот уже вполне способен исполнять музыкальное произведение даже на живых инструментах.
Завораживает то, насколько гармонично математика вплетается в музыку, и не просто объясняет ее природу, но и выступает в роли композитора.
Музыкальный фрактал:
Константы — не единственная вещь, связанная с музыкой, которая способна удивить. В математике существует такое понятие, как фрактал. Данным понятием называется множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).
Фрактал Множество Мандельброта
Древо Пифагора — одна из известнейших моделей фракталов
Закономерный вопрос: как фракталы связаны с музыкой? Доходчивый ответ нам дает англоязычный автор Adam Neely в своем ролике на YouTube «Musical fractals». Эта тема будет чуть более сложной в сравнении с предыдущей.
Для дальнейшего понимания нужно уяснить 4 вещи:
Первое: Ноты мажорной гаммы относятся друг к другу, как простые отношения чисел. Второе: полиритмы также измеряются простыми отношениями. Третье: если ускорить ритм во много раз, получится тон. И четвертое: исходя из вышеуказанного, ноты и мелодии — это просто полиритмы, ускоренные во много-много раз.
Таблица интервалов и соответствующих соотношений частот
Отсюда мы получаем, что если взять мелодия из песни All Star группы Smash Mouth, на примере которой автор объясняет сущность феномена, и уместить ее в соответствующее каждой ноте тональности значение из таблицы (которая, грубо говоря, объясняет сколько тактов должна занимать мелодия, чтобы при ускорении, она превратилась в ноту), а потом ускорить получившийся результат в 1024 раза, мы получим мелодию, которая состоит из невероятно огромного количества таких же мелодий и воспроизводит сама себя. И этот процесс можно продолжать до бесконечности.
Запись мелодии All star в Ableton соответственно каждому интервалу
Заключение/гипотеза симуляции:
Анализируя и изучая всю эту тему, начинаешь невольно задумываться над тем, что наш мир — это какая-то невероятно сложно продуманная программа или симуляция, где все законы и алгоритмы работают настолько тесно и взаимосвязанно, что начинаешь допускать: а вдруг и правда, у всего этого есть автор — программист, инженер или бог. И он, словно создатель компьютерной игры, встраивает пасхалки, чтобы игроки смогли найти их и, может быть, разгадать что-то. Или может они ничего не значат. Знаю наверняка только то, что подобные вещи лишний раз доказывают, насколько наш мир еще не изучен, и сколько всего человеку еще предстоит постичь.
